پروژه شماره 1

یکی از پروژه هایی که هم اکنون مشغول انجام ان هستم کاربرد نظریه جبر لی در جبر کامپیوتری است. برای مثال یک دسته چند جمله ای شامل چند جمله ایهای x+y=1 و xy=2 را در نظر می گیریم. این دستگاه یک دستگاه متقارن است پس برای حل این دستگاه ( طبق رابطه ویت ) کافیست معادله  X^2-X+2=0  را در نظر می گیریم اگرx1 و   x2 ریشه های این معادله باشند     (x1,x2) و(x2,x1)   ریشه های دستگاه اولیه هستند. حال دستگاه معادلات  x-y=1 وxy=2 را  در نظر می گیریم. این دستگاه یک دستگاه متقارن نیست ولی با یک تغییر متغیر به صورت  y=-z به دستگاه x+z=1  وxz=-2 می رسیم که یک دستگاه متقارن است و با روش قبلی می توان ان را حل کرد. پس سوال مهمی که در این راستا می توان مطرح کرد این است که یک دستگاه معادلات چند جمله ای چقدر از یک دستگاه متقارن دور است ؟ یا به عبارتی چگونه می توان تغییر متغیرهایی را در نظر گرفت که با اعمال انها به یک دستگاه متقارن رسید. از طرفی نظریه جبر لی یکی از ابزارهای قوی در جبر است که با استفاده از ان می توان ساختارهای متقارن در معادلات دیفرانسیل را مطالعه کرد. همچنین این ابزار روشهایی را برای معرفی تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل ارائه می کند که با ان می توان معادلات دیفرانسیل پیچیده را به معادلات ساده تر تبدیل کرد. حال موضوع اصلی این پروزه بررسی این روشها جهت استفاده در معادلات چند جمله ای است.